Презентация, доклад проекта по математике удивительный мир фракталов

ФРАКТАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В ПРИРОДЕ

Рис. 12. Фракталы в природе

Один из наглядных примеров фрактальной формы – береговые линии, которые отличаются друг от друга степенью своей изрезанности. Нет абсолютно одинаковых протоков, но их общие очертания как будто нарисованы одним лекалом. Эти очертания независимо от размера очень похожи. Маленький проток – это уменьшенная копия большого. Если увеличить верхний правый угол картинки, то она будет аналогична всей картине, изображенной на рисунке.

Рис. 13. Береговые линии

Растительный мир нашей зелёной планеты богат и разнообразен. На первый взгляд кажется, что в нём нет никакой закономерности: растения в лесу расположены беспорядочно, ветки с листьями на растениях тоже. Но возьмём, к примеру, дерево. Если рассматривать дерево поднимаясь от основания к вершине, то видно, как от ствола отходят большие ветви, на больших ветвях идёт такое же разветвление меньших веток, и дальше форма разветвления в любой части дерева будет повторяться, лишь уменьшаясь в размере к вершине. И зная принципы построения фракталов, изучив все закономерности расположения веток на вершине дерева, нетрудно догадаться, как выглядит это же дерево у своего основания.

Крона – это видимая часть дерева, которая является отражением корневой системы. А корни, в свою очередь, тоже имеют ярко выраженное фрактальное строение. (рис.14, б).

Рис. 14. Фракталы в природе на примере дерева

Самое интересное, что прожилки на листьях тоже образуют фрактальный рисунок, очень похожий на плоское миниатюрное дерево (рис.15). Нет листьев с одинаковым рисунком, так же как нет людей с одинаковым отпечатком пальца. Рисунок на каждом листе уникален.

Рис. 15. Фрактальность в листьях

Комнатное растение (королевская бегония) – яркий пример проявления фракталов в рисунке листьев. Маленькие листочки по форме и сочетанию цветов аналогичны большим, хотя и не являются их точной копией (рис.16).

Рис. 16. Листья королевской бегонии

Один из самых старых видов наземных растений – папоротники. Учёные полагают, что они существуют более 350 млн. лет. Строение листа этого растения очень похоже на компьютерный фрактал (рис.17). Именно это растение является ярким доказательством того, что чем древнее биологическая форма, тем чётче в ней прослеживается фрактал, то есть форма организма строится по простым правилам.

Рис. 17. Листья папоротников

Съедобные растения тоже несут в себе формы самоподобия. Красная капуста в продольном срезе имеет фрактальный рисунок. (рис.18)

Рис. 18. Фото разных сортов капусты

Казалось бы, тугой кочан капусты, а его красота может вдохновить даже художника. Белые утолщения центральных черенков плотно прижатых листьев образуют волшебный фрактальный лабиринт.

Лишайники так же как папоротники и мхи – это самые древние представители растительного мира, поэтому фракталы в них выражены особенно ярко. В их узлах содержатся те же фрактальные формы, что и по краям.

Голография

Голография – это способ записи информации, основанный на интерференции света. Интерференция возникает при наложении двух или более волн. Если бросить в воду 2 камешка – от них пойдут круги, и мы увидим сложную картинку, некий замысловатый узор.

Голограмма работает по такому же принципу: лазерный луч расщепляется на 2 луча, затем каждый луч пропускается через диффузную линзу, которая формирует из узкого направленного луча более широкий и равномерный. Далее первый луч направляется на пластину, а второй — освещает объект. Свет, который отразился от объекта, так же попадает на пластину. И когда оба луча в итоге окажутся на пластине мы получим интерфереционную картину, которая напоминает хаотичное пересечение светлых и тёмных полос.

Для того, чтобы получить изображение исходного объекта, нам необходимо осветить пластину тем же лазерным лучом и мы получим иллюзию его существования. Интересно, что каждая часть голограммы содержит информацию об объекте и как бы мы не делили пластинку — она всё равно будет содержать уменьшенную копию объекта.

А теперь сопоставим эту информацию с Исконной Физикой Аллатра, согласно которой в основе материального мира лежит эзоосмическая решётка, представляющая собой сильно уплощённый кирпич, толщина которого составляет 1/72 от его длины. А если вспомнить о космическом микроволновом фоне и сопоставить его с информацией о голограмме, то получается занятная картина.

Виды фракталов

Фракталы бывают разных видов, рассмотрим некоторые из них: 

• геометрические;
• алгебраические;
• стохастические;
• концептуальные (социокультурные, непространственные и т.д.)

Геометрические

Геометрические виды фракталов являются самыми наглядными и простыми в строении. Увидеть их может любой человек. Множество таких фракталов можно нарисовать на обычном листке бумаги в клетку. Примером являются: Треугольник Серпинского, Снежинка Коха, Н-фрактал, Т-фрактал, Дракон, Кривая Леви, Дерево Пифагора.

Рис. 5. Примеры геометрических фракталов

Рассмотрим принцип построения фракталов на примере – «Снежинки Коха»
(рис. 6). 

Он строится путём многократного разделения отрезка линии на 3 равные части и замены средней части на 2 новых отрезка той же длины. Число сторон каждый раз учетверяется, вследствие чего становится бесконечно великим. Периметр снежинки имеет бесконечную длину, но площадь при этом конечна, так как фигура является замкнутой.

Рис. 6. Фрактал – «Снежинка Коха»

«Снежинка Коха» стала основой фрактальных антенн, которые мы используем в мобильных устройствах. Благодаря такой форме антенны имеют компактный размер с широким диапазоном действия.

Рис. 7. Примеры фрактальных антенн

По принципу построения интересен также «Треугольник Серпинского». 

1. Возьмём равносторонний треугольник, отметим середины его сторон.

2. Соединим срединные точки прямыми линиями. Образовались 4 треугольника. 

3. Центральный треугольник вынимаем и «выкидываем».

Теперь повторим эту операцию с каждым из вновь образовавшихся треугольников. И так до бесконечности. 

Рис. 8. Построение треугольника Серпинского

Из этого примера легко увидеть, что количество треугольников увеличивается, и сумма их периметров (сумма сторон треугольников) стремится к бесконечности, а сумма площадей – к нулю.

Треугольник Серпинского имеет нулевую площадь. Разбирая способ построения, можно увидеть, что «вынимая» из треугольника всё наполнение после каждой итерации (повторение операции построения), мы постоянно уменьшаем его площадь и в результате сводим её к нулю.

Алгебраические фракталы

Это самая крупная группа фракталов, которая базируется на основе разных алгебраических формул. Ярким примером является фрактал Мандельброта. В настоящее время их принято отображать в цвете. Получаются красивейшие необычные орнаменты, которые используют, например, в дизайне одежды.

Рис. 9. Изображения алгебраических фракталов

Не менее популярным является способ построения, основанный на комплексной динамике. В результате образуются фракталы, напоминающие живые организмы – биоморфы. (рис.10).

Рис. 10. Изображения фракталов – «биоморфы»

Стохастические фракталы

Строятся путём хаотического изменения некоторых параметров. При этом получаются объекты, очень похожие на природные. Фракталы данного вида широко применяются в киноиндустрии. С помощью компьютерной графики создаются искусственные горы, облака, поверхности моря, планеты, береговые линии, несимметричные деревья (рис.11). Также представителем данного вида является – «плазма» в природе:

• Молния
• Ионосфера
• Северное сияние
• Пламя 

Рис. 11. Стохастические фракталы

Концептуальные (социокультурные, непространственные) фракталы

Этот вид объединяет непространственные структуры, выходящие за рамки геометрической фрактальности. Принцип многоуровневого самоподобия заложен в культурных произведениях. В художественных текстах (стихах для детей, народных песнях, в музыкальных произведениях и сказках) часто встречается «рассказ в рассказе».

Например: 

«У попа был двор, на дворе был кол, на колу мочало – не начать ли сказочку сначала?… У попа был двор…»

или

Сказка «Репка»:

Дедка, бабка.

Дедка, бабка, внучка.

Дедка, бабка, внучка, Жучка и т.д.

Фрактальность наблюдается в организации человеческих поселений (страна – город – квартал); в распределении общества на группы (народ – социокультурная группа – семья – человек). Сюда же отнесём фрактальность взаимоотношений, которые начинаются с самого человека. Меняется человек, его восприятие, внутреннее состояние – изменяется взаимоотношение в семье, коллективе, в итоге преобразуется всё общество. Прослеживается фрактальность в иерархических системах управления.

Красота Повтора. Фрактальность Реальности

Фракталы — не просто красивое природное явление. А вы знаете, что при созерцании фракталов в лобной коре головного мозга всего за одну минуту увеличивается активность альфа-волн — как во время медитации или при ощущении легкой сонливости.

Рассматривание фракталов оказывает на человека умиротворяющее воздействие. Всем нравится смотреть на облака, на языки пламени в камине, на листву в парке…

Ученые предполагают, что естественный ход поисковых движений наших глаз тоже фрактален. При совпадении траектории движения глаз и фрактального объекта мы впадаем в состояние физиологического резонанса, за счет чего активизируется деятельность определенных участков мозга.

Фракталы выходят за рамки чистой математики. Они могут дать гораздо больше: например, объяснить явления, находящиеся вне нашего понимания при текущем развитии науки.

Вся фрактальная космология строится на теории бесконечности пространства Вселенной и распределении в нем астрономических объектов по принципу фрактальной размерности.

Фрактальность является одним из самых важных принципов Мироздания, в котором процессы повторяются на различных уровнях.

Для примера рассмотрим хорошо нам знакомую, но мало понятую систему — планету Земля. У неё, как и у человека, тоже есть кровь – вода, есть легкие – деревья, и есть вены – реки. Роль её печени играют камни и песок, через который фильтруются загрязнения и круговорот воды в природе, который отделяет молекулы воды от микро мусора.

Сама же Земля является носителем огромного количества маленьких открытых систем — растения, животные, насекомые, земноводные, человек. И эти системы постоянно взаимодействуют друг с другом.

Человеческое сообщество также организовано в системы – семьи, роды, нации. Эти системы управляются сверх-системами — различными эгрегориальными структурами.

Все вместе эти системы образуют уровни нашей цивилизации, на каждом из которых есть свои правила и механизмы взаимодействия.

Фрактальность мироустройства, энергии. Спираль как фрактал

Мир вокруг нас разнообразен. Многие объекты, существующие в природе, являются фракталами. В их основе лежит Божественная пропорция (число Фи) – это Золотое сечение и золотая спираль, благодаря которой мы воспринимаем красоту и гармонию природы, пропорциональность строения человека, древней архитектуры, классических произведений искусства. 

Золотая спираль строится фрактальным способом: прямоугольник с золотой пропорцией. 1,618 (число Фи) разбивают на малые квадраты и проводят дугу. То есть в спиралях большая дуга переходит в подобную меньшую и т.д.

Рис. 20. Золотое сечение

Спираль сама по себе является фракталом, в котором каждый новый виток копирует предыдущие, но в новом масштабе. Прямая взаимосвязь между мироустройством микро- и макромира и формой спирали свидетельствует о фрактальном устройстве Вселенной. 

Очень интересную информацию об этой взаимосвязи можно найти в книге «АллатРа» А. Новых: 

«Ригден: Да, и это связано со структурированным ходом энергий, хранением информации и её обменом, в общем, с углублённой физикой. Если внимательно изучить этот вопрос, то можно понять, что многое в материальном мире располагается в форме спирали или совершает движение по спирали, начиная от микро- и заканчивая макрообъектами». 

Здесь же мы читаем, что в мифологии древних народов основные моменты о сотворении мира схожи. Говорится, что из мира Бога появился Первичный Звук, который породил Вселенную в форме шара. А на его поверхности под действием сил Аллата (первичной энергии, порождающей жизненное движение) стала образовываться материя, которая благодаря тем же силам начала взаимодействовать между собой. 

Весь мир создан по математическим пропорциям, и древние об этом знали и отразили своё знание в мифах о сотворении мира. Спираль и последовательность Фибоначчи – это тоже фракталы.

Понятие о двух противодействующих силах Вселенной запечатлены на артефактах разных культур и эпох символом спиралей, закрученных в разные стороны.

Рис. 20. Артефакты с символом спираль в культурах мира

Науке уже известно о спиральных структурах и спиралевидном движении энергии. В этом движении также обнаруживаются фрактальные свойства. Их можно увидеть в космосе, в теле человека, в растениях и природных явлениях (облака, циклоны, водовороты).

Физики наблюдали, как в турбулентных потоках большие вихри порождают вихри поменьше, а те ещё меньше, и такое деление спиралевидных энергий наблюдалось до тех видимых пределов, которые технически были доступны учёным.

Фрактальные свойства присутствуют в структуре и движении энергии электрического разряда, воды, в росте растений и т.д.

Чем полезны знания о фракталах

Понимание фрактального устройства упростило многие сферы научных исследований. Удивительная особенность фракталов – повторение аналогичного паттерна в разных масштабах – позволяет нам, изучив малую часть какого-либо события или явления, предполагать об устройстве целого. 

Это свойство позволило более точно рассчитывать площади неровных изломанных поверхностей. Например географических, таких как береговые линии, облака, или биологических – внутренняя поверхность лёгких или нервных волокон. 

Рис. 21. Изображение структуры лёгких

Фрактальное строение ландшафта позволило создавать 3D модели гор, облаков, берега, что широко используется в компьютерной графике кинематографа, программ обучения водителей, лётчиков, а также в компьютерных играх. По факту, это есть создание иллюзорной копии нашего мира (иллюзии внутри иллюзии).

В технической сфере мы научились производить фрактальные антенны, которые позволяют значительно уменьшить размеры конструкции, и расширить диапазон принимаемых частот без увеличения объёма и громоздкости.

Применение фрактального свойства в архитектуре привело к появлению новых необычных форм с увеличением прочности строений. 

Знания о фракталах нашли применение во всех сферах жизни человека – в физике, экономике, культуре, биологии, геологии и т.д.

Но главное – это реальный шанс по-новому взглянуть на мироустройство, которое пронизано фракталами вдоль, поперёк и насквозь. Например, изучение галактики, позволило учёным приблизиться к пониманию о строении Вселенной и о параллельных мирах.

Фракталы и их дизайн — неопознанные элементы науки

Сложные и простые фракталы представляют собой самоподобные фигуры, дизайн которых при уменьшении масштаба повторяется. Геометрия таких фигур «прячется» в сосудистой системе человека, альвеол животного. Присмотрись к извилинам морских берегов или контурам деревьев, облакам в небе или звездным галактикам — все это невероятное порождение хаотического движения мира или фракталы с их идеальной геометрией.

Только взгляни на русла рек, созвездия, структуру вирусов, ДНК или атомов!

Повторяющиеся самоподобные фигуры создают целые вселенные…

О примерах самоподобных множеств заговорили еще в XIX веке. Слово «фракталы» происходит от латинского fractus и переводится как дробный, ломаный. Его ввел математик Бенуа Мандельбротом в 1975 году, изучая сложные структуры, состоящие из частей, подобных целому. Мандельброт указал, что свойство самоподобия кардинально отличает эти фигуры от других объектов точной науки и трудно укладывается сознании. Совершенный дизайн фигур обладает рядом свойств:

• сложные, постоянно повторяющиеся структуры основной фигуры геометрии (круга, треугольника, квадрата)
• увеличение масштаба фигуры всегда приводит к усложнению его структуры
• принцип дизайна фигуры — самоподобие, приближенное самоподобие или рекурсия
• метрическая размеренность даже при дроблении фигуры значительно превосходит топологическую
• фигуры фракталы не имеют конечной площади в графическом изложении, напоминают матрицу.

Схожие фрактальные формы встречаются повсюду, от микро- до макромира

Ищи фракталы в минералах, флоре и фауне, природных явлениях

Фракталы в природе, науке, дизайне, it-сфере и даже философии — это яркий пример вечного непрерывного движения, становления и развития простых форм. Фракталы становятся причиной встречающихся нам закономерностей. О том, что человечество использовало такие фигуры много веков назад, ни история, ни архитектура, ни изобразительное искусство не умалчивают. Трипольская культура, Древний Египет, календарь Майя, восточные узоры мандалы — все это принадлежит к сакральной геометрии.

Мандала со своей фрактальной структурой излучает гармонию

Одежда с фрактальным кроем или принтами становится все более популярной

Применение фрактальной геометрии сегодня

После открытия фрактальной геометрии произошёл целый прорыв в компьютерной графике, изображения стали более реалистичными. Вся современная компьютерная графика создана фактически за счет математических формул.

После открытия фрактальной геометрии стало возможным измерять береговые линии, предсказать движение облаков, изменения русел рек. Именно фрактальная геометрия сделала прорыв в области средств связи. Антенны, сконструированные с использованием основ фрактальной геометрии, стали в разы меньше, расширился диапазон доступных радиоволн.

Кроме того, фрактальные модели применяют в информатике для улучшения трафика, сжатия и компактного хранения данных, в ядерной физике при изучении элементарных частиц, в астрономии при наблюдении процессов на Солнце и даже принципах распределения галактик во Вселенной.

Фрактальная геометрия позволяет диагностировать инфаркты, раковые заболевания на ранней стадии. Движения броуновских частиц, которое ранее считалось хаотичным, также отображает фрактальную геометрию.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Как видим, фракталы – это не нечто обособленное и непонятное. Они наполняют нашу жизнь. Знания о фрактальном построении мира имелись у людей издревле. Мы провели небольшое исследование и нашли интересные факты, связанные с древностью фракталов, способами их применения в архитектуре и проявлений как в самом человеке, так и в обществе. 

Как говорится в книге Анастасии Новых «АллатРа»:

Во второй части нас ждёт захватывающее путешествие в историю, архитектуру, музыку. У нас будет возможность понять, как изменения в неизмеримо малом могут привести к глобальным трансформациям. И что может сделать человек как единица общества, чтобы наступило золотое тысячелетие, о котором люди мечтают с давних пор.

Конец первой части

Участники МОД «АЛЛАТРА»

Список литературы:

1. Анастасия Новых «АллатРа» К: изд-во «АЛЛАТРА» 2013

2. Анастасия Новых «Сэнсэй IV»

3. Анастасия Новых «Сэнсэй-II»

4. АЛЛАТРА ТВ передача «СОЗНАНИЕ И ЛИЧНОСТЬ. От заведомо мёртвого к вечно Живому»

5. Статья «К ТИПОЛОГИИ ФРАКТАЛОВ В ТЕОРИИ КУЛЬТУРЫ»

6. Смирнова А. С., Готический стиль в архитектуре и психология. (Научные труды Института Непрерывного Профессионального Образования. №4/2014.

7.  Деменок С., Просто фрактал. – СПб.: ООО «Страта», 2012.

8. Cтатья из Вестника Брестского гос. техн. унив-та. 2015 №1: Колосовская А.Н. Архитектурные сооружения духовно-рыцарский орденов.

9. Г.М. Вдовин Г.М., Трубецков Д.И., Столетие фрактальной геометрии: От Жюлиа и Фату через Хаусдорфа и Безиковича к Мандельброту. Саратовский национальный исследовательский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского. Россия. 2020.

10. Федер Е., Фракталы. Перевод Ю.А.Данилова и А.Шукурова. М.: «Мир». 1991.

11. Берд К.,  Книга о странном.