Лента мебиуса — удивительное открытие

Бесконечно длинная лестница

Загадка лестницы в Мюнхене – в её строении, в мире нет больше подобного сооружения, подтверждающего на практике возможность создания действующей лестницы Пенроуза, строение которой делает её бесконечной. В зависимости от того, в какую сторону по ней двигаться, можно бесконечно спускаться или подниматься, не находя окончания лестницы. Всё конечно в нашем мире, мы к этому привыкли, но данный проект полностью опровергает правила привычной нам реальности.
Самый длинный лестничный пролет в мире представляет собой замкнутое строение, которое не имеет ни начала, ни конца, это и является её особенностью. Именно поэтому ее частенько сравнивают с весьма известной «лентой Мёбиуса». Физический парадокс получил практическое воплощение, которое абсолютно не противоречит законам науки, но тем не менее поражает красотой решения.
Архитектурное сооружение имеет маленький секрет – художник хотел изменить представление человека об окружающих вещах, заставить взглянуть на мир по-другому и, как мы видим, ему это удалось. Некоторые туристы видят в хитрой конструкции некое подобие цепочки ДНК. Что, на самом деле, не лишено основания. ДНК не является замкнутой системой, но общая направленность крайне похожа.

В реальности же мюнхенская лестница и вовсе поражает воображение

Если присмотреться, то можно заметить, что металлический каркас соприкасается с землей только в одном месте, что создает оптический эффект парения лестницы под облаками, это придаёт конструкции особую прелесть. Красивые и изящные очертания сооружения завораживают и притягивают взгляд.

Искусство и технология

Международный символ переработки представляет собой лист Мёбиуса

«Лента Мёбиуса» над входом в институт ЦЭМИ РАН (1976, архитектор Леонид Павлов, художники Э. А. Жаренова и В. К. Васильцов)

Лист Мёбиуса служил вдохновением для скульптур и для графического искусства. Эшер был одним из художников, кто особенно любил его и посвятил несколько своих литографий этому математическому объекту. Одна из известных — «Лист Мёбиуса II», показывает муравьёв, ползающих по поверхности ленты Мёбиуса.

Лист Мёбиуса является эмблемой серии научно-популярных книг «Библиотечка „Квант“». Он также постоянно встречается в научной фантастике, например, в рассказе Артура Кларка «Стена мрака». Иногда научно-фантастические рассказы (вслед за физиками-теоретиками) предполагают, что наша Вселенная может быть некоторым обобщённым листом Мёбиуса. Также кольцо Мёбиуса постоянно упоминается в произведениях уральского писателя Владислава Крапивина, цикл «В глубине Великого Кристалла» (например, «Застава на Якорном Поле. Повесть»). В рассказе «Лист Мёбиуса» автора А. Дж. Дейча, бостонское метро строит новую линию, маршрут которой становится настолько запутанным, что превращается в ленту Мёбиуса, после чего на этой линии начинают исчезать поезда. По мотивам рассказа был снят фантастический фильм «Мёбиус» режиссёра Густаво Москера. Также идея ленты Мёбиуса используется в рассказе М. Клифтона «На ленте Мёбиуса».

В 1987 году советский джазовый пианист Леонид Чижик записал альбом «Лента Мёбиуса», в который вошла и одноимённая композиция.

Существуют технические применения ленты Мёбиуса. Полоса ленточного конвейера, выполненная в виде ленты Мёбиуса, будет работать дольше, потому что вся поверхность ленты изнашивается равномерно. Также в системах записи на непрерывную плёнку применяются ленты Мёбиуса (чтобы удвоить время записи). Во многих красящая лента также имеет вид ленты Мёбиуса для увеличения её ресурса.

Также над входом в институт ЦЭМИ РАН находится мозаичный горельеф «Лента Мёбиуса» работы архитектора Леонида Павлова в соавторстве с художниками Э. А. Жареновой и В. К. Васильцовым (1976).

Иногда считается, что лента Мёбиуса является прообразом ∞{\displaystyle \infty }, однако последний появился на два века раньше.

Характеристики

Для каждого четного n gt; 4 лестница Мёбиуса M n является неплоским вершинным графом, что означает, что ее нельзя нарисовать без пересечений на плоскости, но удаление одной вершины позволяет нарисовать оставшийся граф без пересечений. Эти графы имеют пересечение номер один и могут быть вложены без пересечений на торе или проективной плоскости. Таким образом, они являются примерами тороидальных графов. Ли (2005) исследует вложения этих графов на поверхности более высокого рода.

Лестницы Мебиуса являются вершинно-транзитивными — у них есть симметрии, переводящие любую вершину в любую другую вершину, но (за исключением M 4 и M 6) они не являются реберно-транзитивными. Ребра цикла, из которого формируется лестница, можно отличить от ступенек лестницы, потому что каждое ребро цикла принадлежит одному 4-циклу, в то время как каждая ступень принадлежит двум таким циклам. Следовательно, не существует симметрии, переводящей ребро цикла в ребро ступени или наоборот.

При п ≡ 2 ( по модулю 4), М п является двудольным. Когда n ≡ 0 (mod 4), он не является двудольным. Конечные точки каждой ступени находятся на четном расстоянии друг от друга в начальном цикле, поэтому добавление каждой ступени создает нечетный цикл. В этом случае, поскольку граф является 3-регулярным, но не двудольным, по теореме Брукса он имеет хроматическое число 3. Де Майер и Ной (2004) показывают, что лестницы Мебиуса однозначно определяются своими многочленами Тутте.

Лестница Мебиуса M 8 имеет 392 опорных дерева ; он и M 6 имеют самые остовные деревья среди всех кубических графов с одинаковым числом вершин. Однако кубический граф с 10 вершинами с наибольшим количеством остовных деревьев — это граф Петерсена, который не является лестницей Мёбиуса.

Эти многочлены TUTTE из лестниц Мёбиуса может быть вычислены с помощью простого рекуррентного соотношения.

Если ленту разрезать

Разрезание ленты Мёбиуса по линии, которая отстоит от краёв на треть ширины

• Если разрезать ленту вдоль по линии, равноудалённой от краёв, вместо двух лент Мёбиуса получится одна длинная двусторонняя (закрученная на полный оборот) лента. Это свойство ленты Мёбиуса используется в старинном фокусе под названием «афганские ленты» (англ. The Afghan Bands) с 1904 года, его также описывают Норберт Винер в книге I Am a Mathematician (1956) и Мартин Гарднер в книге Mathematics, Magic and Mystery (1956), последний также утверждает, что самая ранняя ссылка на использование ленты Мёбиуса для фокусов относится к 1882 году. Если получившуюся ленту разрезать вдоль посередине, получаются две такие ленты, намотанные друг на друга.
• Если разрезать ленту Мёбиуса, отступая от края приблизительно на треть её ширины, то получаются две ленты, одна — более короткая лента Мёбиуса, другая — длинная лента с двумя полуоборотами.
• Другие комбинации лент могут быть получены из лент с двумя или более полуоборотами в них. Например, если разрезать ленту с тремя полуоборотами, то получится лента, завитая в узел трилистника. Разрез ленты с дополнительными оборотами даёт неожиданные фигуры, названные парадромными кольцами.

Открытые вопросы

1. Каково минимальное k{\displaystyle k} такое, что из прямоугольника с меньшей стороной 1 и большей стороной k можно свернуть несамопересекающуюся ленту Мёбиуса (бумагу мять не разрешается)? Доказанная оценка снизу — π2{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}, сверху — 3{\displaystyle {\sqrt {3}}}.
2. Существует ли формула, описывающая лист Мёбиуса, получающийся путём складывания плоского листа бумаги? Вышеуказанные формулы описывают поверхность, которую нельзя сложить из листа бумаги, так как она имеет отрицательную кривизну; спрашивается, можно ли аналогичным образом описать поверхность нулевой кривизны?

   Сложнее найти форму, которая при этом минимизирует упругую энергию изгиба. Решение этой задачи, впервые поставленной Садовским (M. Sadowsky) в 1930 году, было опубликовано в 2007 году. Однако решение не описывается алгебраической формулой, и маловероятно, что такая формула вообще существует. Чтобы найти пространственную равновесную форму бумажной ленты Мёбиуса, необходимо решить краевую задачу для системы дифференциально-алгебраических уравнений.

Зачем нужна такая модель искривлённой реальности?

Сооружение бесконечной лестницы не несёт практической пользы, если не считать таковой применение теоретических изысканий на практике

Но возможность доказать существование подобных проектов – тоже немаловажное дело.
Своеобразный памятник изысканиям учёных, возможностям мозга человека и бесконечному труду человеческого разума, лестница без начала и конца в городе Мюнхене будет постоянным напоминанием о том, что любой проект можно воплотить в жизнь.
Каждый, кто хоть раз пройдёт по этой лестнице, никогда не забудет этого ощущения нереальности происходящего, вне зависимости от того, спуск это будет или подъём

Ночью знаменитое мюнхенское сооружение выглядит особенно волшебно

Невозможная архитектурная форма

Бесконечная лестница считается невозможной фигурой, то есть объектом, который благодаря возникшей иллюзии как бы не может существовать в объемной реальности. Поднимающийся по такой лестнице человек через некоторое время осознаёт, что оказывается в той же точке, с которой начал свой путь.Невероятное, поражающее воображение, архитектурное строение в Мюнхене – самая длинная лестница в мире!
Само собой, ведь длиннее бесконечности не может быть ничего. А это строение представляет собой именно невероятно длинную, бесконечную лестницу.

Изначально это теоретический проект, который был создан для изменения представления о пространстве и его формах, но со временем скульпторы и строители задумались о том, чтобы воплотить в реальность эту интересную теорию. Так возникли многие подобия лестницы Пенроуза, самой известной из которых и самой приближенной к изначальной идее стала мюнхенская лестница.

Лестница Пенроуза — такая необычная… и нереальная

Химия и физика

Вальба, Ричардс и Халтивангер (1982) впервые синтезировали молекулярные структуры в форме лестницы Мебиуса, и с тех пор эта структура вызывает интерес в химии и химической стереографии, особенно с учетом лестничной формы молекул ДНК. Имея в виду это приложение, Флапан  ( 1989) изучает математические симметрии вложений лестниц Мебиуса в R 3. В частности, как она показывает, любое трехмерное вложение лестницы Мебиуса с нечетным числом ступенек является топологически киральным : его нельзя преобразовать в свое зеркальное отображение путем непрерывной деформации пространства, не пропуская одно ребро через другое. С другой стороны, все лестницы Мебиуса с четным числом ступенек имеют вложения в R 3, которые можно деформировать в их зеркальное отображение.

Лестницы Мебиуса также использовались в качестве формы сверхпроводящего кольца в экспериментах по изучению влияния топологии проводника на взаимодействие электронов.

Открытие Августа Мебиуса

«Отцом» открывателем этой необычной ленты признан немецкий математик Август Фердинанд Мебиус, ученик Гаусса, написавший не одну работу по геометрии, но прославившийся преимущественно открытием односторонней поверхности в 1858 году. 

Удивительным является тот факт, что ленту с одной поверхностью в тот же самый 1858 год открыл другой ученик Гаусса – талантливый математик Иоганн Листинг, придумавший термин «топология» и написавший серию основополагающих трудов по этому разделу математики. Однако свое название необычная лента все же получила по фамилии Мебиуса.

Есть расхожее мнение, что прообразом модели «бесконечной петли» стала неверно сшитая лента служанкой профессора Августа Мебиуса.

На самом деле, лента была открыта давным-давно еще в древнем мире. Одним из подтверждений служит находящаяся во Франции, в музее города Арль древнеримская мозаика с такой же перекрученной лентой. На ней нарисован Орфей, очаровывающий зверей звуками арфы. На фоне неоднократно изображен орнамент с перекрученной лентой.

Посещение аттракциона

Лестница в Мюнхене доступна для посетителей в светлое время суток, каждый может прийти и походить по ней в своё удовольствие, убедившись в том, что она действительно позволяет почувствовать ощущение бесконечности спуска или подъёма. В тёмное время суток вход на этот занимательный аттракцион закрыт, по европейским стандартам сооружение обнесено незначительным ограждением, за которое заходить не положено.
В условиях европейских стран такое ограждение достаточно серьёзное препятствие и нарушать его никто не рискует. Кроме того рядом с лестницей имеется предупреждение о том, что если на конструкции находится десять и более человек, каждый из них несёт ответственность за свою безопасность самостоятельно — поэтому покрепче держитесь за перила для лестницы.

Мы надеемся, что читателей увлёк рассказ о подобной конструкции, опровергающей все правила нашей реальности. Если вам есть, что рассказать о подобных конструкциях, мы всегда рады вашему вниманию.

Зачем нужна петля Мебиуса? Применение

Лента Мебиуса – вовсе не абстрактная фигура, нужная лишь для целей математики, она нашла применение и в реальной повседневной жизни. По принципу этой ленты функционирует в аэропорту лента, передвигающая чемоданы из багажного отделения. Такая конструкция позволяет ей служит дольше в связи с равномерным изнашиванием. Открытие Августа Мебиуса повсеместно исполбьзуется в станкостроении. Конструкцию используют для большего времени записи на пленку, а также в принтерах, использующих ленту при распечатке.

Благодаря своей наглядности, петля Мебиуса дает возможность делать современным ученым все новые и новые открытия. С момента обнаружения удивительных свойств петли по всему миру прокатилась волна новых запатентованных изобретений. Например, значительное улучшение свойств магнитных сердечников, изготовленных из ферро-магнитной ленты, намотанных по способу Мебиуса.

Н. Тесла получил патент на многофазную систему переменного тока, использовав намотку катушек генератора по типу петли Мебиуса.

Американский ученый Ричард Дэвис сконструировал нереактивный резистор Мебиуса — способный гасить реактивное (емкостное и индуктивное) сопротивление, не вызывая элекстромагнитных помех. 

Незначительные графы

Трехмерный вид на . Один из гамильтоновых циклов пронумерован.Мя4{\ displaystyle ML_ {4}}

Трехмерный вид на .Мя6{\ displaystyle ML_ {6}}

Шкалы Мёбиуса играют важную роль в истории добычи графов . Самым ранним результатом в этой области является теорема Клауса Вагнера 1937 года , утверждающая, что графы без миноров могут быть сформированы с использованием операций суммирования клик  для объединения плоских графов и лестницы Мёбиуса . По этой причине его называют графом Вагнера .Мя4{\ displaystyle ML_ {4}}Мя4{\ displaystyle ML_ {4}}

Губсер (1996) определяет почти планарный граф как непланарный граф , в котором каждый нетривиальный минор является планарным. Он показывает, что 3-связные почти плоские графы являются лестницами Мёбиуса или членами небольшого числа других семейств и что другие почти плоские графы могут быть сформированы из последовательности простых операций .

Джон Махари показал, что почти все графы, не имеющие кубического минора , могут быть выведены из последовательности простых операций со шкалами Мёбиуса .

Литература

• Dmitry Jakobson, Igor Rivin. On some extremal problems in graph theory. — 1999. — arXiv:math.CO/9907050.
• De-ming Li. Genus distributions of Möbius ladders // Northeastern Mathematics Journal. — 2005. — Т. 21, вып. 1. — С. 70–80.
• Jonathan Simon. New scientific applications of geometry and topology (Baltimore, MD, 1992). — Providence, RI: American Mathematical Society, 1992. — Т. 45. — С. 97–130. — (Proceedings of Symposia in Applied Mathematics).
• L. Valdes. Proceedings of the Twenty-second Southeastern Conference on Combinatorics, Graph Theory, and Computing (Baton Rouge, LA, 1991). — 1991. — Т. 85. — С. 143–160. — (Congressus Numerantium).

«Магия» ленты Мебиуса

1. Несмотря на кажущееся наличие у листа Мебиуса двух сторон, на самом деле сторона всего одна, и раскрасить в два цвета ленту не получится.
2. Если ручкой или карандашом начертить по всей длине петли линию, не отрывая руку от листа, то грифель в конечном итоге остановится в точке, с которой Вы начали чертить линию;
3. Примечательные опыты получаются при разрезании ленты, способные удивить, как взрослого, так и ребенка в особенности.

Для начала склеим ленту Мебиуса, как было рассказано ранее. Затем разрежем ее вдоль по всей длине ровно посередине, как показано ниже:

Вас порядком удивит результат, ведь вопреки ожиданиям в руках останется не два отрезка ленты, и даже не два отдельных круга, но другая, еще более длинная лента. Это уже будет не лента Мебиуса, перекрученная на 180 градусов, а лента с поворотом на 360 градусов.

Теперь проведем другой эксперимент – сделаем еще одну петлю Мебиуса, после чего отмерим 1/3 ширины ленты и отрежем по этой линии. Результат поразит вас еще больше – в руках останутся две отдельные ленты разных размеров, соединенные вместе, как в цепочке: одна маленькая лента, и более длинная вторая. 

У меньшей ленты Мёбиуса будет 1/3 от изначальной ширины ленты, длина L и поворот на 180 градусов. У второй более длинной ленты будет также ширина 1/3 от начальной, но длина 2L, а поворот на 360 градусов.

Можно и дальше продолжать эксперимент, разрезая получившиеся ленты на еще более узкие, результат увидите сами.

Свойства

• Граница листа Мёбиуса состоит из одной замкнутой кривой.
• Топологически лист Мёбиуса может быть определен как факторпространство квадрата ,1×,1{\displaystyle \left\times \left} по отношению эквивалентности (x,)∼(1−x,1){\displaystyle \left(x,\;0\right)\sim \left(1-x,\;1\right)} для ⩽x⩽1{\displaystyle 0\leqslant x\leqslant 1}.
• Лист Мёбиуса — это также пространство нетривиального расслоения над окружностью со слоем отрезок.
• Ленту Мёбиуса возможно поместить в R3{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} с границей, являющейся идеальной окружностью. Один из способов — применить стереографическую проекцию к бутылке Клейна, вложенной в трёхмерную сферу. Идея состоит в следующем: пусть C{\displaystyle C} будет единичным кругом в плоскости xy{\displaystyle xy} в R3{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}. Соединив антиподные точки на C{\displaystyle C} (то есть точки под углами θ{\displaystyle \theta } и θ+π{\displaystyle \theta +\pi }) дугой круга, получим, что для θ{\displaystyle \theta } между {\displaystyle 0} и π2{\displaystyle \pi /2} дуги лежат выше плоскости xy{\displaystyle xy}, а для других θ{\displaystyle \theta } — ниже (причём в двух местах дуги лежат в плоскости xy{\displaystyle xy}).[источник не указан 1673 дня]

  Тем не менее любой диск, который приклеивается к граничной окружности, неизбежно пересечёт ленту Мёбиуса.

• Примером вложения листа Мебиуса в C2{\displaystyle \mathbb {C} ^{2}} является поверхность, заданная уравнением

z1=sin⁡ηeiφ{\displaystyle z_{1}=\sin \eta \,e^{i\varphi }}

z2=cos⁡ηeiφ2,{\displaystyle z_{2}=\cos \eta \,e^{i\varphi /2},}

Здесь параметр η{\displaystyle \eta } изменяется от 0 до π{\displaystyle \pi }. Границей этой поверхности является окружность z1=,|z2|=1{\displaystyle z_{1}=0,|z_{2}|=1}. При стереографической проекции получается вложение в R3{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} с границей, в точности являющейся окружностью.

Лента Мебиуса – широкое поле для Вдохновения

Сложно оценить важность значения открытия петли Мебиуса, которое вдохновило не только большое множество ученых, но и писателей, художников. Самой известной работой, посвященной ленте Мебиуса считается картина Moebius Strip II, Red Ants или Красные Муравьи голландского художника-графика Маурица Эшера

На картине представлены муравьи, карабкающиеся по петле Мебиуса с обеих сторон, на самом деле сторона всего одна. Муравьи ползут по бесконечной петле друг за другом по одной и той же поверхности

Самой известной работой, посвященной ленте Мебиуса считается картина Moebius Strip II, Red Ants или Красные Муравьи голландского художника-графика Маурица Эшера. На картине представлены муравьи, карабкающиеся по петле Мебиуса с обеих сторон, на самом деле сторона всего одна. Муравьи ползут по бесконечной петле друг за другом по одной и той же поверхности.

Художник черпал свои идеи из статей и трудов по математике, он был глубоко увлечен геометрией. В связи с чем на его литографиях и гравюрах часто присутствуют различные геометрические формы, фракталы, потрясающие оптические иллюзии.

До сих пор интерес к петле Мебиуса находится на очень высоком уровне, даже спортсмены ввели одноименную фигуру высшего лыжного пилотажа.

По произведению «Лента Мёбиуса» писателя фантаста Армина Дейча снят не один фильм. В форме петли Мебиуса создается огромное множество украшений, обуви, скульптур и многих других предметов и форм.

Лист Мебиуса наложил отпечаток на производство, дизайн, искусство, науку, литературу, архитектуру.

Умы многих людей волновала схожесть формы молекулы ДНК и петли Мебиуса. Существовала гипотеза, которую выдвинул советский цитолог Навашин, что форма кольцевой хромосомы по строению аналогична ленте Мебиуса. На эту мысль ученого натолкнул тот факт, что кольцевая хро­мосома, размножаясь, превращается в более длинное кольцо, чем в самом начале, или в два небольших кольца, но как в цепи продетых одно в другое, что очень напоминает выше описанные опыты с листом Мебиуса.

В 2015 году группа ученых из Европы и США смогла закрутить свет в кольцо Мёбиуса. В научном опыте ученые использовали оптические линзы, и структурированный свет — сфокусированный лазерный луч с преопределенными интенсивностью и поляризацией в каждой точке своего движения. В итоге были получены световые ленты Мебиуса.

Есть еще одна более масштабная теория. Вселенная – это огромная петля Мебиуса. Такой идеи придерживался Эйнштейн. Он предположил, что Вселенная замкнута, и космический корабль, стартовавший из определенной ее точки и летящий все время прямо, возвратится в ту же самую точку в пространстве и времени, с которой и началось его движение.

Пока это всего лишь гипотезы, у которых есть как сторонники, так и противники. Кто знает, к какому открытию подведет ученых, казалось бы, такой простой объект, как Лента Мебиуса.

Примечания и ссылки

(ru) Эта статья частично или полностью взята из статьи Википедии на английском языке под названием .

1. Например, Теория графов — Лекция 2 , Колумбийский университет. Многие другие обозначения сосуществуют.
2. — полный двудольный графМя3{\ displaystyle ML_ {3}} К3,3{\ Displaystyle К_ {3,3}}
3. Джон П. МакСорли , Подсчет структур в лестнице Мёбиуса »  , Discrete Mathematics , vol.  184, №№  1-3 ,1998 г., с.  137–164 ( DOI   , Math Reviews   )
4. Ричард Гай и Фрэнк Харари , О лестницах Мёбиуса »  , Canadian Mathematical Bulletin , vol.  10.‎1967 г., с.  493–496 ( DOI   , математические обзоры   )
5. Де -мин Ли , «  Распределение по роду лестниц Мёбиуса  » , Northeast Mathematics Journal , vol.  21  , №1 ,2005 г., с.  70-80 ( Математические обзоры   )
6. Анна де Мьер и Марк Ной , « О  графах, определяемых их полиномами Тутте , Graphs and Combinatorics , vol.  20, № 1  ,2004 г., с.  105–119 ( DOI   , Math Reviews   )
7. Дмитрий Якобсон и Игорь Ривин , О некоторых экстремальных задачах теории графов , arXiv ,1999 г.( читать онлайн )
8. Л. Вальдес , Экстремальные свойства остовных деревьев в кубических графах , Труды Двадцать второй Юго-Восточной конференции по комбинаторике, теории графов и вычислениям (Батон-Руж, Луизиана, 1991) , Congressus Numerantium , vol .  85.‎1991 г., с.  143-160 ( Математические обзоры   )
9. Н. Л. Биггс , Р. М. Дамерелл и Д. А. Сэндс , «  Рекурсивные семейства графов »  , Journal of Combinatorial Theory , b, vol.  12.‎1972 г., с.  123-131 ( DOI   , математические обзоры   ).
10. (de) К. Вагнер , »  Über eine Eigenschaft der ebenen Komplexe  » , Mathematische Annalen , vol.  114.‎1937 г., с.  570–590 ( DOI   , математические обзоры   )
11. Губсер, Брэдли С., Характеристика почти плоских графов , Комбинаторика , вероятность и вычисления , т. 1, с.  5, № 3  ,1996 г., с.  227-245 ( DOI   )
12. Джон Махари , Характеристика графов без малого куба , Journal of Combinatorial Theory , b, vol.  80, № 2  ,2000 г., с.  179-201 ( DOI   )
13. Д. Вальба , Р. Ричардс и Р. К. Халтивангер , Полный синтез первой молекулярной ленты Мёбиуса »  , Журнал Американского химического общества , том.  104, № 11  ,1982 г., с.  3219-3221 ( DOI   ).
14. Джонатан Саймон , «Узлы и химия» , в кн . Новые научные приложения геометрии и топологии , Провиденс , Род-Айленд, AMS , сб.  «Материалы симпозиумов по прикладной математике» ( № 45  ),1992 г.( Математические обзоры   ) , с.  97-130.
15. Эрика Флапан , »  Симметрии лестниц Мёбиуса  » , Mathematische Annalen , vol .  283, № 2  ,1989 г., с.  271-283 ( DOI   ).
16. Фредерик Мила , К.А. Стаффорд и Сильвен Каппони , Постоянные токи в лестнице Мёбиуса: проверка межцепочечной когерентности взаимодействующих электронов , Physical Review B , vol.  57  , №3 ,1998 г., с.  1457–1460 ( DOI   , читать онлайн ).
17. Вэнь -Цзи Дэн , Цзи-Хуан Сюй и Пинг Лю , «  Уменьшение вдвое периода постоянных токов в мезоскопических лестницах Мёбиуса  » , Chinese Physics Letters , vol.  19, № 7  ,2002 г., с.  988-991 ( DOI   , arXiv   ).
18. Г. Болоташвили , М. Ковалёв и Э. Гирлич , »  Новые грани многогранника линейного упорядочения « , SIAM Journal on Discrete Mathematics  , vol .  12, № 3  ,1999 г., с.  326–336 ( DOI   ).
19. Ральф Борндорфер и Роберт Вейсмантель , Установить ослабление упаковки некоторых целочисленных программ , Mathematical Programming, Series A , vol .  88, № 3  ,2000 г., с.  425–450 ( DOI   , Math Reviews   ).
20. (en) М. Грётшель , М. Юнгер и Г. Рейнельт , «  Об ациклическом многограннике подграфов  » , Mathematical Programming , vol.  33.‎1985 г., с.  28–42 ( DOI   , Math Reviews   ).
21. M. Grötschel , M. Jünger и G. Reinelt , Аспекты многогранника линейного порядка , Mathematical Programming ,  vol .  33.‎1985 г., с.  43–60 ( DOI   , Math Reviews   ).
22. Аланта Ньюман и Сантош Вемпала , «Заборы бесполезны: о релаксациях для задачи линейного упорядочения» , in Целочисленное программирование и комбинаторная оптимизация: 8-я международная конференция IPCO, Утрехт, Нидерланды, 13–15 июня 2001 г., Труды , Берлин, Springer -Верлаг, колл.  «Конспект лекций по информатике» ( # 2081  ),2001 г.( DOI   , Math Reviews   , читать онлайн ) , с.  333-347.